线性代数：矩阵的介绍和运算

矩阵由多个长度相等的向量组成，其中的每列或者每行就是一个向量。因此把向量延伸一下就能得到矩阵（Matrix）。从数据结构的角度看，向量是一维数组，那矩阵就是一个二维数组。如果二维数组里绝大多数元素都是 0 或者不存在的值，那么我们就称这个矩阵很稀疏。

矩阵还有一种比较好理解的方式，就是用方程组来表达。比如方程组：

然后把每一个变量的系数写在对齐的一列中，可以写成矩阵：

也可以写成矩阵：

第 1 个矩阵称为方程组的系数矩阵，第 2 个矩阵称为方程组的增广矩阵。

矩阵用加粗的斜体大写字母表示，例如 X，而 X12，X22，…，Xnm 等等，表示矩阵中的每个元素，而这里面的 n 和 m 分别表示矩阵的行维数和列维数。

矩阵的运算

和向量一样，矩阵的和标量之间的加法和乘法，需要把标量和矩阵中的每个元素相加或相乘，就能得到结果。

矩阵和矩阵之间加法，只要保证两个矩阵具有相同的行维度和列维度，就可以把对应的元素两两相加。比如下面：

那么：

矩阵的乘法形式：

其中，矩阵 Z 为矩阵 X 和 Y 的乘积，X 是形状为 i x k 的矩阵，而 Y 是形状为 k × j 的矩阵。X 的列数 k 必须和 Y 的行数 k 相等，两者才可以进行这样的乘法。

还有一个比较常见的运算，是矩阵的转置。这个比较常见，写代码的时候我们有遇到，下面直接用 DataFrame 数据演示下：

# 导入包
import seaborn as sns
from pandas import Series,DataFrame
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

# 拿到小费数据集
tips = sns.load_dataset('tips')

# 数据介绍： total_bill列为消费总金额；tip列为小费金额；sex列为顾客性别；smoker列为顾客是否抽烟；day列为消费的星期；time列为聚餐的时间段；size列为聚餐人数

# 查看前5行数据
tips.head()

tips.describe()

# DataFrame 数据格式的转置，和矩阵转置的性质一致。
tips.describe().T

矩阵的转置，也就是上面两个数据集的行列转换方式。