统计学：卡方检验

卡方检验的理论知识

卡发检验定义：卡方检验是假设检验的一种方法。主要是比较两个分类变量的关联性分析。

卡方值的计算：

1. 设 A 代表某个类别的观察频数，E 代表基于 _H_计算出的期望频数，A 与 E 之差称为残差；
2. 残差可以表示某一个类别观察值和理论值的偏离程度，但如果将残差简单相加以表示各类别观察频数与期望频数的差别，则有一定的不足之处。因为残差有正有负，相加后会彼此抵消，总和仍然为 0，为此可以将残差平方后求和；
3. 残差大小是一个相对的概念，相对于期望频数为 10 时，期望频数为 20 的残差非常大，但相对于期望频数为 1 000 时 20 的残差就很小了。考虑到这一点，又可以将残差平方除以期望频数再求和，以估计观察频数与期望频数的差别。

所以，其计算公式就变成：

其中，_A__i _为 i 水平的观察频数，_E__i _为 i 水平的期望频数。

当观察频数与期望频数完全一致时，χ值为 0；观察频数与期望频数越接近，两者之间的差异越小，χ值越小；反之，观察频数与期望频数差别越大，两者之间的差异越大，χ值越大。

换言之，大的 χ值表明观察频数远离期望频数，即表明远离假设。小的 χ值表明观察频数接近期望频数，接近假设。因此，χ是观察频数与期望频数之间距离的一种度量指标，也是假设成立与否的度量指标。

如果 χ值“小”，研究者就倾向于不拒绝 _H_；如果 χ值大，就倾向于拒绝 _H_。至于 χ在每个具体研究中究竟要大到什么程度才能拒绝 _H_，则要借助于卡方分布求出所对应的 P 值来确定。

卡方检验的使用场景

卡方检验一般使用在两个及以上的定性（或者说分类变量）上：

• 检验某个分类变量各类的出现概率是否等于指定概率。比如：掷硬币时，正反两面出现的概率是否均为 0.5；
• 检验某两个分类变量是否相互独立。比如：吸烟(二分类变量：是、否)是否与呼吸道疾病(二分类变量：是、否)有关；
• 检验控制某种或某几种分类因素的作用以后，另两个分类变量是否相互独立。比如：控制性别、年龄因素影响以后，吸烟是否和呼吸道疾病有关；
• 检验某两种方法的结果是否一致。如采用两种诊断方法对同一批人进行诊断，其诊断结果是否一致；采用两种方法对客户进行价值类别预测，预测结果是否一致。

案例一（行列的卡方检验）

问题：掷 50 次硬币，正反两面出现的概率是否均为 0.5，也就是说硬币是否均衡？假设是不均衡的。

计算表格（2*2）	正面	反面
理论频次（E）	25	25
观察频次（A）	28	23

1. 求卡方值：

2. 求自由度：

3. 95% 置信度，对比 P 值：查表可以得知，卡方值 0.72 小于自由度为 1 的临界值。所以假设不成立，硬币是均衡的。

案例二（四格表的卡方检验）

问题：男生女生性别和在线上买菜是否有关系？假设有显著关系。

【观察数据】

	男生	女生	总计
线下买菜	67	33	100
线上买菜	55	60	115
总计	122	93	215

通过【观察数据】算出理论数据。

【理论数据】

	男生	女生	总计
线下买菜	57	43	100
线上买菜	65	50	115
总计	122	93	225

理论数据计算：

1. 已知男生、女生总计 215 人，线下买菜概率：100 / 215 = 0.47
2. 那男生线下买菜期望值： 0.46 * 122 = 57
3. 以此类男生下商买菜、女生线上买菜、女生线下买菜理论值

计算卡方值判断：

1. 求卡方值：

2. 求自由度

3. 95% 置信度，对比 P 值：查表可以得知，卡方值 7.62 大于自由度为 1 的临界值。所以假设不成立，性别和是否线上线下买菜有显著关系。